2016ICPC沈阳站G - Do not pour out（积分）

G - Do not pour out

题意：

长度为2，直径为2的圆柱体杯子。杯子中液体的高度为d，求当杯子倾斜到最大角度且液体没有倒出来的时候，液体的表面积。

思路

分两种情况讨论： 1、倾斜时液体覆盖了杯底（较为简单） 液体体积：$V=\pi \ast r^2\ast d=\pi \ast d$ $\frac{\pi \ast r^2\ast x}{2}+\pi \ast r\ast r\ast (2-x)=V=\pi \ast d$ 解得：$x=4-2\ast d$ 所以：椭圆长半轴 $a=\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$ 液体表面积：$s=\pi \ast a\ast b=\pi \ast a$ 1、倾斜时液体没有覆盖了杯底 根据 $y$ 对水体截面积 $s$ 进行积分

当phi从水杯底部走到杯口时，phi在不断变化中，命名一个变化的角度为$\theta$ 用 $\theta$ 表示 $y$ ，根据相似三角形： $\frac{1-cos(\theta )}{1-cos(\varphi )}=\frac{2-y}{2}$ 所以： $y=2-\frac{2(1-cos(\theta ))}{1-cos(\varphi )}$ 对于水的横截面S 等于扇形面积减去三角形的面积： $S=\frac{2\varphi }{2\pi }\pi -sin\varphi cos\varphi =\varphi -sin\varphi cos\varphi$ 那么对于变化中的横截面积为：$s=\theta -sin\theta cos\theta$ 对y进行积分： ${\int }_0^{2}sdy={\int }_0^2\theta -sin\theta cos\theta dy$ 又因为：$dy=d(2-\frac{2(1-cos(\theta ))}{1-cos(\varphi )})=\frac{-2sin\theta }{1-cos(\varphi )}d\theta$ 上下限更新为：$\varphi \to 0$ 所以原式 $={\int }_{\varphi }^0(\theta -sin\theta cos\theta )\times \frac{-2sin\theta }{1-cos(\varphi )}d\theta$ $=\frac{-2}{1-cos\varphi }{\int }_{\varphi }^0(\theta -sin\theta cos\theta )sin\theta d\theta$ $=\frac{-2}{1-cos\varphi }[{\int }_{\varphi }^0\theta sin\theta d\theta -{\int }_{\varphi }^{0}si{n}^2\theta cos\theta d\theta ]$ $=\frac{-2}{1-cos\varphi }[-\theta cos\theta +sin\theta -\frac{1}{3}si{n}^3\theta {]}_{\varphi }^0$ $=\frac{2}{1-cos\varphi }\times (-\varphi cos\varphi +sin\varphi -\frac{1}{3}si{n}^3\varphi )$ 二分答案区间 $[0,\pi ]$ 得到 $\varphi$ 的值，然后计算长半轴：

$L=\sqrt{2^2+(1-cos\varphi {)}^2}$ 点 $x_0=L-a,y_0=sin\varphi$ 在 椭圆上，带入椭圆公式$\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$求出a的值为 $a=\frac{L}{1+\sqrt{1-y_0^2}}，当\varphi <=\frac{\pi }{2}$ $a=\frac{L}{1-\sqrt{1-y_0^2}}，当\varphi >\frac{\pi }{2}$ 对椭圆中蓝色部分进行积分： $s_0={\int }_0^{L-a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx$ 令 $x=asint,dx=acostdt$ 上限变为 $asin(\frac{L-a}{a})$ 所以 $s_0=\frac{1}{a}{\int }_0^{asin\frac{L-a}{a}}a\sqrt{1-si{n}^{2}t}\times acostdt=a[t/2+sin(2t)/4{]}_0^{asin\frac{L-a}{a}}$ 终于得到结果啦！：$S=\pi ab/2+2s_0=\pi a/2+2\ast s0$

代码：

#include <iostream> #include <cmath> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> #pragma warning(disable:4996) using namespace std; const double PI = acos(-1); const double eps = 1e-12; double V; double f(double x) { return 2.0 * (-x * cos(x) + sin(x) - sin(x) * sin(x) * sin(x) / 3.0) / (1.0 - cos(x)) - V; } int main() { int T; double d; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%lf", &d); if (d > 1) { double x = 4 - 2 * d; double a = sqrt(4 + x * x) / 2; printf("%.5f\n", PI*a); } else if (d == 0) printf("%.5lf\n", 0.0); else { V = PI * d; double l = 0, r = PI; while (r - l > eps) { double mid = (l + r) / 2.0; if (f(mid) <= 0) l = mid; else r = mid; } double phi = l; if (phi == 0.0) phi = eps; double a, L = sqrt(4.0 + ((1 - cos(phi)) * (1 - cos(phi)))), y0 = sin(phi); if (phi >= PI / 2.0) a = L / (1 + sqrt(1 - y0 * y0)); else a = L / (1 - sqrt(1 - y0 * y0)); double x = asin((L - a) / a); double ans = PI * a / 2.0 + a * (x + sin(2 * x) / 2.0); printf("%.5lf\n", ans); } } return 0; }