闭区间套定理：如果 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an,bn]}是一个闭区间套，即满足 [ a n + 1 , b n + 1 ] ⊂ [ a n , b n ] [a_{n+1},b_{n+1}]\sub [a_n,b_n] [an+1,bn+1]⊂[an,bn]的嵌套关系，且区间长度 b n − a n → 0 b_n-a_n\to 0 bn−an→0，则存在唯一的实数 ξ \xi ξ属于所有区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn]，且 ξ = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n \xi =\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to \infty}b_n ξ=n→∞liman=n→∞limbn。
注意闭区间套定理是在实数集上成立的，因此可以用它来证明实数集不可列。假如实数集可列，就可以找到一种排列方式 x 1 , x 2 , ⋯ , x n , ⋯ x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots x1,x2,⋯,xn,⋯，使得 R = { x 1 , x 2 , ⋯ , x n , ⋯ } \R=\{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\} R={x1,x2,⋯,xn,⋯} 不妨取 R \R R上一个集合 [ a 0 , b 0 ] [a_0,b_0] [a0,b0]，将其三等分为三个闭区间 [ a 0 , a 0 + b 0 − a 0 3 ] , [ a 0 + b 0 − a 0 3 , b 0 − b 0 − a 0 3 ] , [ b 0 − b 0 − a 0 3 , b 0 ] ; \left[a_0,a_0+\frac {b_0-a_0}{3}\right],\left[a_0+\frac{b_0-a_0}3 ,b_0-\frac {b_0-a_0}{3}\right],\left[b_0-\frac{b_0-a_0}{3},b_0\right]; [a0,a0+3b0−a0],[a0+3b0−a0,b0−3b0−a0],[b0−3b0−a0,b0]; x 1 x_1 x1至多能同时属于其中的两个闭区间，那么一定有一个闭区间不包含 x 1 x_1 x1，记作 x 1 ∉ [ a 1 , b 1 ] , [ a 1 , b 1 ] ⊂ [ a 0 , b 0 ] ; x_1\notin [a_1,b_1],\quad [a_1,b_1]\sub [a_0,b_0]; x1∈/[a1,b1],[a1,b1]⊂[a0,b0]; 继续对 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1]进行三等分， x 2 x_2 x2至多能同时属于其中两个闭区间，那么一定有一个闭区间不包含 x 2 x_2 x2，记作 x 2 ∉ [ a 2 , b 2 ] , [ a 2 , b 2 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] ; x_2\notin [a_2,b_2],\quad [a_2,b_2]\sub [a_1,b_1]; x2∈/[a2,b2],[a2,b2]⊂[a1,b1]; 以此类推，得到一个闭区间列 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn]，由这个闭区间列的构造方式可以知道 [ a n + 1 , b n + 1 ] ⊂ [ a n , b n ] [a_{n+1},b_{n+1}]\sub [a_n,b_n] [an+1,bn+1]⊂[an,bn]，且 b n − a n = b 0 − a 0 3 n → 0 b_n-a_n=\dfrac{b_0-a_0}{3^n}\to 0 bn−an=3nb0−a0→0，所以闭区间列 { [ a 0 , b 0 ] } \{[a_0,b_0]\} {[a0,b0]}是一个闭区间套，由闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ \xi ξ，满足 ξ ∈ [ a n , b n ] , ∀ n ∈ N + \xi\in [a_n,b_n],\forall n\in \N_+ ξ∈[an,bn],∀n∈N+。但由于 ξ ∈ [ a 1 , b 1 ] , x 1 ∉ [ a 1 , b 1 ] ⇒ ξ ≠ x 1 ; ξ ∈ [ a 2 , b 2 ] , x 2 ∉ [ a 2 , b 2 ] ⇒ ξ ≠ x 2 ; ⋯ ξ ∈ [ a n , b n ] , x n ∉ [ a n , b n ] ⇒ ξ ≠ x n ; ⋯ \xi\in [a_1,b_1],x_1\notin [a_1,b_1]\Rightarrow \xi \ne x_1;\\ \xi\in [a_2,b_2],x_2\notin [a_2,b_2]\Rightarrow \xi \ne x_2;\\ \cdots\\ \xi\in [a_n,b_n],x_n\notin [a_n,b_n]\Rightarrow \xi\ne x_n;\\ \cdots ξ∈[a1,b1],x1∈/[a1,b1]⇒ξ=x1;ξ∈[a2,b2],x2∈/[a2,b2]⇒ξ=x2;⋯ξ∈[an,bn],xn∈/[an,bn]⇒ξ=xn;⋯ 即 ξ \xi ξ不是实数列 { x 1 , x 2 , ⋯ , x n , ⋯ } \{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\} {x1,x2,⋯,xn,⋯}中的任何一个，也就是 ξ ∉ R \xi \notin \R ξ∈/R，这显然是矛盾的，所以实数集一定是不可列的。
